FUNDAMENTOS DIDACTICOS PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA
Fines de la educacion
la finalidad principal de la educacion es la formacion integral del alumno, que se logrará mediante el desarrollo de sus aptitudes. Ello debe implicar un desenvolvimientos de su personalidad, tanto desde un plano individual como en cuanto a su integracion en la sociedad. Y con esta vision habra que fomentar no sólo el cultivo de sus facultades intelectuales, fisicas, étnicas, etc., que le confiere su caracter formativo, sino ademas el desarrollo de otros aspectos de incidencia social, como el lenguaje, el calculo, etc., que configuran su sentido utilitario. dos son pues los fines de la educacion: formativo y utilitario ó instructivo. por lo tanto habra que armonizar los dos objetivos, para que al instruir ademas se eduque.
fines de la enseñanza de la matematica
es comunmente aceptado el valor formativo del aprendizaje de las matematicas, en especial si en su enseñanza se fomentan distintas formas de actividad matematica, tales como el buscador de analigias y diferencias, realizar conjeturas, elaborar estrategias, utilizar algoritmos, etc. diha actividad no solo contribuye a la adquisicion de un razonamiento logico, si no que colabora positivamente en otros muchos aspectos intelectuales, como la intuicion, la creatividad, la tenacidad en el trabajo, etc.
tambien es innegable que el aprendizaje de las matematicas presupone la adquisicion de un conjunto de instrumentos poderosos para explorar la realidad, representarla, explicarla y predcirla. es evidente asi mismo que las matematicas suministran una valiosa herramienta para poder abordar otras materias, por lo que asumen el caracter de ciencia basica.
Queda señalado con lo anterior que los fines formativos y utilitarios de la enseñanza de la matematica no se oponen a otras, por el contrario se complementan. para poder hacer uso de las matematicas, ademas de tener unos conocimientos, se precisa saber utilizarlos en una situacion concreta. lo primero se adquiere simplemente mediante una enseñanza de tipo instructivo, pero para conseguir lo segundo, es necesario que el aprendizaje de esos onceptos haya tenido lugar dentro de un proceso formativo en el que hayan intervenido la observacion, la formulacion de hipotesis, la realizacion de conjeturas, etc. solo asi el alumno estara facultando para su aplicacion en casos concretos, a veces alejados de la fria matematica.
Estos son los elementos que intevienen en esa doble finalidad:
finalidad formativa
- el aspecto cualitativo del razonamiento matematico
el alumno debe adquirir una disciplina mental capaz de analizar y deducir, y de fijar con precision la hipotesis y la tesis de un razonamiento, para llegar a familiarizarse con el esquema de razonamiento logico-matematico.
-el aspecto cuantitativo de las matematicas
Kant: "una ciencia es unicamente exacta en la medida que usa la matematica"
- desarrolla la imaginacion y la creatividad
la resolucion de problemas donde la intuicion y la imaginacion deben actuar para pasar de lo general y abstracto de las formulas y proposiciones, a lo concreto de las condiciones, evidentemente ejercita la creatividad y la imaginacion.
- uso del lenguaje con precision y claridad
la matematica puede crear un habito por la precision y claridad del lenguaje, acostumbrado al alumno a expresar las definiciones y enunciados de teoremas- especificando cuales son las hipotesis- con toda exactitud.
-originalidad
la analogia, la generalizacion, la combinacion de procedimientos simples, son elementos inherentes a la actividad matematica.
-componente estetica
por el encadenamiento y la armonia de las distintas premisas de un razonamiento matematico, se hace patente la elegancia en la demostracion de teoremas y en la resolucion de problemas.
- valoracion positiva del esfuerzo humano
el aprendizaje de la matematica debe contribuir a una valoracion positiva del estudio y a la creacion de hbitos de trabajo.
Finalidad utilitaria
- finalidad instrumental
Galileo: "la naturaleza es un libro abierto, y el lenguaje en el que esta escrito es el de la matematica". el tiempo transcurrido desde entonces ha confirmado esta afirmacion, pues la matematica ha sido la herramienta medinte la cual se han estructurado y han llegado a la perfeccion actual, no solo la fisica, la quimica, las ciencias de la naturaleza y la tecnologia, sino que tambien es aplicable a la economía y otras ciencias sociales.
-finalidad practica
la utilizacion de la matematica y de sus metodos de trabajo en la vida cotidiana
REFLEXIONES SOBRE EL RECHAZO A LAS MATEMATICAS Y SU DIFICULTAD
La dificultad de las matematicas puede ser explicada en parte por su "poca humanidad" que trataremos de probar con los siguientes argumentos:
* la disciplina de las matematicas
es la mas logica, la mas esquematica, la mas informal por sus figuras, diagramas y algoritmos, la mas sistematica y la mas organizada de forma hipotetico-deductiva a partir de los acxiomas que definen sus estructuras
* exigencia
la matematica es considerada como la rama mas exigente, opinion que viene reforzada por el papel de filtro selectivo que se le adjudica, si bien suele reconocerse el caracter de objetividad de sus propias pruebas
LAS MATEMATICAS Y SU ENSEÑANZA DEFECTUOSA
-divorcio entre las matematicas y la realidad
Puig Adam: "del empirismo se salta al logicismo sin pasos intermedios, mientras la edad del alumno practicamente no admite razonamientos logicos, se le inculcan destrezas (enseñanza primaria) pero cuando aparecen unas mayores facultades del raciocinio (enseñanza secundaria) se le llena la cabeza de axiomas, teoremas, corolarios, etc."
-desconexion entre la genesis y la transmision de conocimientos
los conceptos en matematicas suelen presentarse totalmente separados del proceso historico que dio lugar a su creacion. los descubrimientos se exponen sinteticamente, lo que evidentemente da una indudable solidez al tema presentado, pero sin embargo, no le da al alumno la oportunidad de colaborar en descubrir lo que aprende.
-falta de motivacion
para lograr el interes hacia las matematicas, es preciso que el estudiante perciba que se puede disfrutar con ellas, al mismo tiempo que hacer uso de las mismas.
-otras causas
dificultad provocada por la gran diferencia existente entre el rendimiento y el ritmo de aprendizaje entre los distintos alumnos.
incapacidad de algunos profesores de explicar con claridad
VIAS DE SOLUCION
Fines de la educacion
la finalidad principal de la educacion es la formacion integral del alumno, que se logrará mediante el desarrollo de sus aptitudes. Ello debe implicar un desenvolvimientos de su personalidad, tanto desde un plano individual como en cuanto a su integracion en la sociedad. Y con esta vision habra que fomentar no sólo el cultivo de sus facultades intelectuales, fisicas, étnicas, etc., que le confiere su caracter formativo, sino ademas el desarrollo de otros aspectos de incidencia social, como el lenguaje, el calculo, etc., que configuran su sentido utilitario. dos son pues los fines de la educacion: formativo y utilitario ó instructivo. por lo tanto habra que armonizar los dos objetivos, para que al instruir ademas se eduque.
fines de la enseñanza de la matematica
es comunmente aceptado el valor formativo del aprendizaje de las matematicas, en especial si en su enseñanza se fomentan distintas formas de actividad matematica, tales como el buscador de analigias y diferencias, realizar conjeturas, elaborar estrategias, utilizar algoritmos, etc. diha actividad no solo contribuye a la adquisicion de un razonamiento logico, si no que colabora positivamente en otros muchos aspectos intelectuales, como la intuicion, la creatividad, la tenacidad en el trabajo, etc.
tambien es innegable que el aprendizaje de las matematicas presupone la adquisicion de un conjunto de instrumentos poderosos para explorar la realidad, representarla, explicarla y predcirla. es evidente asi mismo que las matematicas suministran una valiosa herramienta para poder abordar otras materias, por lo que asumen el caracter de ciencia basica.
Queda señalado con lo anterior que los fines formativos y utilitarios de la enseñanza de la matematica no se oponen a otras, por el contrario se complementan. para poder hacer uso de las matematicas, ademas de tener unos conocimientos, se precisa saber utilizarlos en una situacion concreta. lo primero se adquiere simplemente mediante una enseñanza de tipo instructivo, pero para conseguir lo segundo, es necesario que el aprendizaje de esos onceptos haya tenido lugar dentro de un proceso formativo en el que hayan intervenido la observacion, la formulacion de hipotesis, la realizacion de conjeturas, etc. solo asi el alumno estara facultando para su aplicacion en casos concretos, a veces alejados de la fria matematica.
Estos son los elementos que intevienen en esa doble finalidad:
finalidad formativa
- el aspecto cualitativo del razonamiento matematico
el alumno debe adquirir una disciplina mental capaz de analizar y deducir, y de fijar con precision la hipotesis y la tesis de un razonamiento, para llegar a familiarizarse con el esquema de razonamiento logico-matematico.
-el aspecto cuantitativo de las matematicas
Kant: "una ciencia es unicamente exacta en la medida que usa la matematica"
- desarrolla la imaginacion y la creatividad
la resolucion de problemas donde la intuicion y la imaginacion deben actuar para pasar de lo general y abstracto de las formulas y proposiciones, a lo concreto de las condiciones, evidentemente ejercita la creatividad y la imaginacion.
- uso del lenguaje con precision y claridad
la matematica puede crear un habito por la precision y claridad del lenguaje, acostumbrado al alumno a expresar las definiciones y enunciados de teoremas- especificando cuales son las hipotesis- con toda exactitud.
-originalidad
la analogia, la generalizacion, la combinacion de procedimientos simples, son elementos inherentes a la actividad matematica.
-componente estetica
por el encadenamiento y la armonia de las distintas premisas de un razonamiento matematico, se hace patente la elegancia en la demostracion de teoremas y en la resolucion de problemas.
- valoracion positiva del esfuerzo humano
el aprendizaje de la matematica debe contribuir a una valoracion positiva del estudio y a la creacion de hbitos de trabajo.
Finalidad utilitaria
- finalidad instrumental
Galileo: "la naturaleza es un libro abierto, y el lenguaje en el que esta escrito es el de la matematica". el tiempo transcurrido desde entonces ha confirmado esta afirmacion, pues la matematica ha sido la herramienta medinte la cual se han estructurado y han llegado a la perfeccion actual, no solo la fisica, la quimica, las ciencias de la naturaleza y la tecnologia, sino que tambien es aplicable a la economía y otras ciencias sociales.
-finalidad practica
la utilizacion de la matematica y de sus metodos de trabajo en la vida cotidiana
REFLEXIONES SOBRE EL RECHAZO A LAS MATEMATICAS Y SU DIFICULTAD
La dificultad de las matematicas puede ser explicada en parte por su "poca humanidad" que trataremos de probar con los siguientes argumentos:
* la disciplina de las matematicas
es la mas logica, la mas esquematica, la mas informal por sus figuras, diagramas y algoritmos, la mas sistematica y la mas organizada de forma hipotetico-deductiva a partir de los acxiomas que definen sus estructuras
* exigencia
la matematica es considerada como la rama mas exigente, opinion que viene reforzada por el papel de filtro selectivo que se le adjudica, si bien suele reconocerse el caracter de objetividad de sus propias pruebas
LAS MATEMATICAS Y SU ENSEÑANZA DEFECTUOSA
-divorcio entre las matematicas y la realidad
Puig Adam: "del empirismo se salta al logicismo sin pasos intermedios, mientras la edad del alumno practicamente no admite razonamientos logicos, se le inculcan destrezas (enseñanza primaria) pero cuando aparecen unas mayores facultades del raciocinio (enseñanza secundaria) se le llena la cabeza de axiomas, teoremas, corolarios, etc."
-desconexion entre la genesis y la transmision de conocimientos
los conceptos en matematicas suelen presentarse totalmente separados del proceso historico que dio lugar a su creacion. los descubrimientos se exponen sinteticamente, lo que evidentemente da una indudable solidez al tema presentado, pero sin embargo, no le da al alumno la oportunidad de colaborar en descubrir lo que aprende.
-falta de motivacion
para lograr el interes hacia las matematicas, es preciso que el estudiante perciba que se puede disfrutar con ellas, al mismo tiempo que hacer uso de las mismas.
-otras causas
dificultad provocada por la gran diferencia existente entre el rendimiento y el ritmo de aprendizaje entre los distintos alumnos.
incapacidad de algunos profesores de explicar con claridad
VIAS DE SOLUCION
a) Rohanes:
- no al metodo expositivo
el alumno es un elemento pasivo en la clase, y cabe preguntarse hasta que punto se aumenta la capacidad de pensar del alumno por este procedimiento
- enseñanza viva
se impone la enseñanza viva de la matematica, tomando como punto de partida situaciones concretas, simples y familiares, a partir de las cuales, comenzar el proceso de abstraccion; esto es, de la matematizacion
b) J.R. Pascual:
- capacitar para hacer matematicas
se aprende la matematica como se aprende a hacer silla, haciendola
- busqueda de situaciones motivadoras
la tarea primordial que corresponde realizar personalmente a los profesores de matematicas es la busqueda de situaciones motivadoras de la actividad creadora y descubridora de las verdades y proposiciones matematicas por parte de los alumnos
-actividad matematica
en un plano educativo, lo que importa por tanto es la actividad matematica, como forjadora del pensamiento y de la accion; la fundamentacion cientifica vendra mas tarde
-educacion matematica
hay que concebir mas las matematicas como actividad que como acopio de conocimientos
c) F. I. Toranzos
-prioridad de la evolucion de la capacidad psiquica
intensificar el proceso de rigor y perfeccion paralelamente a la capacitacion del alumno
-enseñanza activa
hay que dar importancia preponderante a los procedimientos que contribuyen a desarrollar la capacidad para la actividad original, respondiendo al ideal de la escuela activa.
-intuicion
dar la cabidad a la intuicion par lograr una comprension de los conceptos y razonamientos logicos
d) H. Freutenthal
los estudiantes deben aprender a matematizar "situaciones reales" pues matematizar "situaciones matematicas" puede ser el final, pero no el comienzo.
e) Polya
el deber del profesor, como vendedor del conocimiento, es convencer al alumno de que las matematicas son interesantes, de que el punto que se esta discutiendo ahora es interesante, de que el problema que se propone merece esfuerzo...
f) W. Servais
-participacion del alumno y papel de guia del profesor
el profesor marchara con sus alumnos por el camino de la exploracion matematica para que aprenda a experimentar por ejemplos. el profesor ya no es el dispensador unico de la ciencia, es ahora el coordinador, el guia, el consejero
- estimulacion y contacto psicologico con el alumno
la mejor motivacion para su trabajo es el placer que el alumno pueda sentir en el despliegue de su propia actividad matematica
EL METODO MATEMATICO
el objeto de la enseñanza de la matematica debe ser el metodo matematico y las materias a enseñar no serán sino ilustraciones bien elegidas del mismo
METODOLOGIA DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA
es la rama de la filofosia que estudia la definicion, construccion y validez de los metodos. el objetivo a continuacion por lo tanto sera el analisis de los distintos metodos de enseñanza de la matematica
LOS METODOS DE LA ENSEÑANZA MATEMATICA Y SU CARACTERIZACION
Ningun profesor enseña bien si sus alumnos no aprenden, por lo que los mejores metodos de enseñanza seran aquellos que mejor promuevan el aprendizaje.
los distintos metodos no deben tener la consideracion de normas de aplicacion absoluta, si no de oroentaciones que el profesor podra utilizar segun su criterio
Toranzos: cuatro modalidades que permiten efectuar una caracterizacion de los métodos
* respecto a la manera de elegir, ordenar y presentar al alumno los distintos temas
- tradicionales:
se tiene en cuenta exclusivamente la estructura de la matematica y su ordenacion, y se trata de ajustar a ella la enseñanza.
-psicologicos:
se refiere a que al alumno se le intenta adaptar tanto la metodologia como los contenidos, teniendo en cuenta su evolucion psicologica mental
* respecto al grado de intervencion del alumno
- expositivo:
el profesor es la figura principal, el transmisor de conocimientos, y el acento se pone en la instruccion informal. el alumno es un mero receptor y adopta el papel pasivo el cual consiste en limitarse a escuchar y aprender
- activo:
la actuacion del profesor no cambia su importancia, solo que ahora debe proporcionar al alumno elementos y sugerencias necesarios para cumplir su funcion orientadora. ahora el alumno es activo, es decir, autoconstuctor de su aprendizaje
* respecto a la manera de adquirir conocimientos
-dogmatico:
la actitud del alumno es entonces tratar de comprender y aprender la exposicion del profesor o la lectura de un libro, percibiendo con este tipo de enseñanza que aquello que estudia es algo perfecto y cerrado que debe conocerse
-heuristico:
no se presentan las teorias hechas e inmutables para que el alumno las fije en su mente, si no que se le proporcionan cuestiones que tendra que resolver con su propio esfuerzo, aunque bajo la direccion del profesor como es obvio
* respecto al metodo de estructura
-deductivo:
es del tipo hipotesis->tesis; es decir, se parte de unos hechos admitidos como ciertos y se tratan de obtener conclusiones de los mismos.
- inductivo:
utiliza la via experimental; esto es, a partir de las observaciones, intenta obtener resultados
TIPOS DE METODOS
* exposicion de profesor
el profesor se situa como conferenciante y realiza su explicacion lo mas clara y completa posible, mientras los alumnos toman nota o escuchan tratando de comprender y asimilar.
hay en este proceso un factor importante que no debe pasarse por alto: nos referimos a la dependencia de los apuntes. en efecto el alumno copia y tratará de recordar mas tarde, solo una sintesis de la exposicion del profesor. por lo tanto que da muy resumido lo que el profesor intento comunicar.
* estudio de textos
coniste en señalar un numero de paginas que el alumno debe estudiar por sí solos y repetir mas tarde en el aula. este metodo, aun combinado con el anterior hace que el papel del alumno se de caracter preponderantemente memorista y autómata
el empleo de libros en la enseñanza de la matematica es útil siempre que se emplee con cuidado. su uso es meramente beneficioso, al menos en las siguientes ocasiones:
-como lectura previa al estudio de un tema
- para fijar y resumir los contenidos de un tema como fase final del proceso de aprendizaje
* enseñanza en grupos
se basa en la concepcion social de la educacion que postula que la madrez intelectual de la persona debe realizarse dentro de un grupo. podemos distinguir entre:
-gran grupo:
cuando se juntan alumnos de varias aulas o niveles para una actividad conjunta, como por ejemplo, escuchar a un conferenciante, realizar un debate, ver una pelicula o videos sobre temas matematicos
-grupo mediano:
es el que forman los alumnos de un aula, por lo que la enseñanza a un grupo mediano es la que habitualmente se imparte cuando el profesor se dirige al conjunto de toda la clase
-grupo pequeño:
está generalmente compuesto por cuatro o seis alumnos a cuyo equipo se dirigira conjuntamente el profesor
EL METODO HEURISTICO
generalidades
Su nombre proviene de eureka (encontrar) y heuristica (arte de inventar). para la puesta en practica de este metodo es necesario un mayor esfuerzo del profesor quien ademas de precisar un buen dominio de las matematicas y su estructuracion actual para conseguir dar respuesta a los problemas que puedan ir surgiendo en la ejecucion del metodo es conveniente que tengan algunos conocimientos de psicologia evolutiva, relativos al desarrollo de la inteligencia y personalidad de los alumnos.
descripcion, caracteristicas y viabilidad
el fundamento del metodo consiste en buscar situaciones dinamicas motivadoras de la actividad creadora y descubridora de las cuestiones matematicas por los propios alumnos. para ello el profesor presenta a los alumnos una serie de datos que encierran un conjunto de problemas, con el objetivo de que el estudiante trabaje con aquellos bajo la guia del profesor, quien debe respetar la intuicion de los alumnos.
asi pues el metodo heuristico se caracteriza en resaltar la importancia de la actividad del estudiante en el proceso de aprendizaje; actividad mental, como es obvio, pero que en determinados niveles puede ser simplemente manipulativa. de esta forma el alumno se convierte en sujeto activo, eje del proceso, mientras que la labor del profesor se centra en despertar el interes (motivar) y orientar su actividad.
en las distintas investigaciones realizadas sobre la viabilidad de este metodo se ha llegado a las siguientes conclusiones:
a) se trata de ser capaces de orientar constantemente el curso de su descubrimiento, pero sin dar las soluciones
b) se debe propiciar el exito en el descubrimiento como elemento de motivacion
c) el metodo heuristico no debe ser utilizado de manera unica, sino que es conveniente emplearlo en combinacion con otros. Ni siquiera puede constituir el metodo de mas frecuente aplicacion, pues las dificultades que plantea su utilizacion, imponen una restriccion forzosa de su uso
teorias sobre la utilizacion
las conclusiones anteriores pueden darnos algunas pautas para la utilizacion del metodo, aunque realmente no facultan para la elaboracion de esos estimulos y situaciones didacticas adecuadas para el desarrrollo de las potencialidades internas de los alumnos, basadas en la espontaneidad y el ritmo de evolucion de su inteligencia
DIRECTRICES METODOLOGICAS
1.- es preciso adaptar la enseñanza a la evolucion mental del alumno y, en lo posible, a la capacidad intelectual de cada uno de ellos
2.- hay que procurar suscitar el interes del alumno hacia las cuestiones matematicas en el estudio y sus posibles aplicaciones, para lo que deben aprovecharse situaciones de la vida real que motiven los desarrollos teoricos y a la ves que hagan patente la importancia de la matematica.
3.- debe partirse de lo concreto para llegar a lo abstracto y de lo particular a lo general o al menos, si se ha introducido un concepto nuevo sin justificacion previa habra que realizar a continuacion algun ejercicio sencillo de aplicacion, para que el alumno perciba su significado antes de proceder a obtener consecuencias del mismo.
4.- una vez que se hayan asimilado las nociones fundamentales con una metodologia heuristica, seria bueno que incidiera en este tipo de contruccion formal
5.- en relacion con ese aprendizaje rutinario, no debe procederse al automatismo de las operaciones y las reglas hasta que se hayan entendido los conceptos y los procesos de deduccion
6.- propiciar los modos personales de expresion del alumno, que habra que ir corrigiendo y mejorando gradualmente
7.- que las clases de matematicas sirvan para alcanzar un cierto sentido de la aproximacion y de la verosimilitud y orden de magnitud de los resultados.
8.- se procurara recalcar la unidad la unidad intrinseca de la matematica, no separando sus partes y aproximando, si es posible diversos metodos de abordar un problema de distintos enfoques
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