PROBLEMAS DE LA EDUCACION EN MATEMATICAS

La resolución de problemas como método integral de en la enseñanza matemática. Indica que la resolución de problemas es un proceso que debe penetrar todo el diseño curricular y proveer el contexto en el cual los conceptos puedan ser aprendidos. Basándose en la cita de Hersh “la concepción sobre la matemática afecta la propia concepción sobre cómo debe ser enseñada. La manera de enseñar es un indicador sobre lo que uno cree que es esencial en ella. Con lo anterior se dice entonces que el punto no es cuál es la mejor manera de enseñar sino de que trata la matemática. Por otro lado Thompson (1992) señala que existe una visión de la matemática  como una disciplina caracterizada por resultados precisos y procedimientos infalibles cuyos elementos básicos son las operaciones aritméticas, los procedimientos algebraicos y los términos geométricos. Otra idea que surge es que los estudiantes deben comprometerse en actividades con sentido, originadas a partir de situaciones problemáticas que conlleven a un pensamiento creativo, que permita deducir y aplicar información, descubrir inventar y comunicar ideas así como probar esa ideas a través de la reflexión crítica y la argumentación. El énfasis en la resolución de problemas como método integral para la enseñanza de la matemática se apoya en la concepción de Ernest “hay una visión de la matemática como un campo de la creación y la invención humana en continua expansión, en el cual los patrones son generados y luego convertidos en conocimiento. A partir de los anterior nos damos cuenta que existe un acuerdo general en aceptar la idea de que el objetivo primario de la educación matemática debería ser que los alumnos aprendan apartar d ella resolución de problemas. Según Stanic y Kilpatrick.  Los problemas han ocupado un lugar central en el currículo matemático escolar desde la antigüedad. Primer significado resolver problemas como contexto. Como una justificación para enseñar matemática: algunos problemas de la vida cotidiana son incluidos en la enseñanza para mostrar el valor de la matemática. Para proveer especial motivación a ciertos temas: los problemas son usados para introducir temas. Como actividad recreativa: muestran que hay usos entretenidos para los conocimientos matemáticos. Como medio para desarrollar nuevas habilidades: se cree que los problemas pueden proporcionar nuevas habilidades. Como practica: se muestra una técnica  los estudiantes y luego se presentan problemas de práctica hasta que se ha dominado la táctica. Segundo significado: resolver problemas como habilidad. Resolver problemas no rutinarios es caracterizado como una habilidad superior, habilidad que a su vez es adquirida a través de del aprendizaje de conceptos matemáticos básicos. Tercer significado: resolver problemas es “hacer matemática” Consiste en creer que le trabajo de los matemáticos es resolver problemas y que la matemática realmente consiste en problemas y soluciones. Avances de la investigación sobre resolución de problemas matemáticos. Según Lester, Schoenfeld y kilpatrick la investigación de esta área comenzó por ser teórica, interesada únicamente en problemas estándar y restringidos a cuantificaciones sobre el comportamiento en resolución de problemas. Actualmente se usa un amplio rango de métodos (cuantitativos y cualitativos) abarca un amplio aspecto y tiene un sustento teórico. Factores que intervienen en el proceso de resolución de problemas matemáticos. El conocimiento de base. Para entender el comportamiento de un sujeto se necesita saber cuáles son las herramientas matemáticas que tiene a su disposición. Las estrategias de resolución de problemas. Primero comprender el problema, segundo diseñar un plan, tercero ponerlo en práctica, cuarto examinar la solución. Los aspectos metacognitivos. En la resolución de un problema en algún momento se hace análisis de la marcha del proceso monitorear y controlar el proceso) Los sistemas de creencias. Las creencias moldean el comportamiento matemático. Las creencias son abstraídas de las experiencias personales y de la cultura a la que uno pertenece. La comunidad practica. Se considera al aprendizaje matemático como una actividad inherentemente social y como una actividad esencialmente constructiva en lugar de receptiva. La enseñanza de la macetica desde una concepción basada en la resolución de problemas. Según Polya enseñar a partir de la resolución de problemas se vuelve complicada para los docentes por tres razones. Matemáticamente porque deben percibir las implicaciones de las diferentes aproximaciones que realizan los alumnos, darse cuenta si pueden ser fructíferas o no. Pedagógicamente, porque debe decidir cuándo intervenir, que sugerencias ayudaran las estudiantes sin impedir que la resolución siga quedando en sus manos. Personalmente, estará muchas veces en una posición incómoda de no saber. Trabajar bien sin saber todas las respuestas requiere experiencia, confianza y autoestima. La educación matemática debería proveer a los estudiantes de una concepción de la matemática de un sentido de disciplina y de una aproximación del hacer matemático, en el nivel adecuado a sus posibilidades

HISTORIA Y DIDÁCTICA DE LOS NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES.

Los números racionales junto con los números irracionales forman los números reales. Hoy en día no podríamos entender las matemáticas sin estos conceptos, que ya eran usados por algunas de las civilizaciones de la antigüedad. La intuición de que existen números con escritura decimal no periódica, cuyas cifras se suceden indefinidamente sin obedecer a ley alguna determinada, es clave para la construcción conceptual de los números reales.

La contraposición de los números irracionales a los racionales hace que sea conveniente su introducción a partir de secundaria. En este curso los alumnos ya tienen amplios conocimientos aritméticos y geométricos de los números naturales, enteros y racionales, por lo que la inclusión de los irracionales es casi una necesidad. Posteriormente los alumnos continuarán ampliando los conocimientos y aplicaciones sobre los números reales en Bachillerato, tal y como lo recogen los currículos vigentes. El tratamiento de esta unidad en la secundaria. será en principio fácil, ya que los números racionales e irracionales son usados en la vida cotidiana. Esto se lo deberemos hacer ver a los alumnos para despertar así su interés y curiosidad en el tema. Los números racionales o fracciones aparecieron muy pronto en la historia de las matemáticas. Como la gran mayoría de los conceptos matemáticos, su descubrimiento fue debido a la necesidad de resolver un problema. Los antiguos necesitaban medir longitudes, áreas, tiempo, pesos y todo otro tipo de medidas. Al enfrentarse a esto en la vida cotidiana, pronto descubrieron que no era suficiente poder contar con los números naturales para hacerlo de manera exacta, ya que estas medidas eran susceptibles de divisiones más pequeñas que la unidad, o divisiones mayores que la misma pero que no eran números naturales, por lo que fue necesario ampliar el concepto de número natural. Así surgieron los números racionales. Las fracciones aparecen ya en los primeros textos matemáticos de los que hay constancia, quizás uno de los más antiguos y más importantes sea el Papiro Rhind de Egipto, escrito hacia el 1.650 a.C. y que pasa por ser la mayor fuente de conocimiento de la matemática egipcia.

En Occidente tuvieron que pasar muchos siglos hasta que los musulmanes introdujeron su sistema de numeración, conocido como indoarábigo. Este paso fue clave para la comprensión y el estudio de los números racionales en la vieja Europa. Sin embargo, no fue hasta el S. XIII cuando Leonardo de Pisa, más conocido por su apodo Fibonacci, introdujo el concepto de números quebrados o números “ruptus”, empleando además la raya para separar el numerador del denominador. Irracionales. El concepto o la idea de número irracional apareció pronto en la geometría. Ya los antiguos griegos observaron que los números racionales no completaban la recta. Quizás el primero en constatarlo fue el célebre filósofo y matemático griego Pitágoras de Samos (582 a.C. – 507 a.C.), quien estudiando un triángulo rectángulo con catetos de longitud uno, observó que la longitud de la hipotenusa de dicho triángulo no podía tener un valor racional. Con esto demostró la no completitud de los números racionales y dedujo la existencia de unos números hasta entonces desconocidos. La Escuela Pitagórica llamó a dichos números inconmensurables. Al principio la aparición de estos “desconocidos” desconcertó de forma alarmante a los miembros de la Escuela Pitagórica, pues la existencia de los irracionales ponía en evidencia que muchas suposiciones y demostraciones de la geometría eran falsas o estaban incompletas. La sorpresa y preocupación llegó hasta tal punto que llegaron a plantearse el mantener en secreto estos números que contradecían su doctrina, que entre otras cosas preconizaba “la adoración del número como ente perfecto que gobernaba el universo y todo lo que en él existía”. Tres siglos después de su descubrimiento, Euclides trata en su obra “Los Elementos” el tema de los números irracionales, y llega a demostrar que la raíz cuadrada de dos no puede ser un número racional. Los matemáticos griegos posteriores estudiaron además de estos irracionales sencillos, otros cada vez más complicados, encontrándose tipos como raíz cuadrada de (raíz cuadrada de a + raíz cuadrada de b) y otros semejantes, pero nunca llegaron a tener la idea general de número irracional. Esta idea aparece ya bien entrado el siglo S. XVI, al considerar la idea de un número decimal aperiódico, esto es un número decimal cuyas cifras se sucedían de manera indefinida sin obedecer a ley alguna determinada. Las matemáticas contribuyen decisivamente en la consecución de los objetivos generales de la Educación Secundaria. Durante su aprendizaje los alumnos van desarrollando su capacidad de reflexión lógica y su capacidad de pensamiento y abstracción. El objetivo general de la asignatura de matemáticas durante la secundaria. debe ser, además de dar a los alumnos unos conocimientos para su futuro laboral y profesional, el que adquieran los conocimientos necesarios para desenvolverse como ciudadanos capaces de ejercer sus derechos y deberes en nuestra sociedad actual. Para tal fin es necesario un correcto conocimiento de los conceptos de los números reales y su división en números racionales y números irracionales. Por lo tanto la unidad de los números racionales e irracionales resulta ser una unidad básica para poder cumplir los objetivos de materia y de etapa. A demás cualquier unidad didáctica que quiera tratar este tema, deberá tener unos objetivos propios básicos, que serán: Incorporar al lenguaje utilizado en la comunicación habitual las diversas ampliaciones del campo numérico, para aumentar la comprensión de los fenómenos que nos rodean. Clasificar los distintos tipos de números: naturales, enteros, racionales... para un mejor conocimiento de los mismos, de manera que se amplíe la capacidad de comunicación y comprensión frente a los fenómenos que nos rodean. Definir el conjunto de los números reales. Determinar propiedades y operaciones que se realizan con los números reales. Representar en la recta numérica números reales. Establecer la nomenclatura adecuada para designar tramos en la recta real.  Leer y escribir correctamente cantidades expresadas en notación científica. Utilizarla de manera adecuada para comunicar información en los casos que así lo aconsejen. Manejar con soltura los números racionales e irracionales en la calculadora. Reconocer las posibilidades de la notación científica para expresar de modo muy comprensivo números muy grandes o muy pequeños. Profundizando y buscando unos conceptos más específicos podríamos definir los siguientes objetivos, Expresar fracciones en forma decimal. Distinguir los números decimales exactos, periódicos puros y periódicos mixtos. Obtener la expresión fraccionaria de los números decimales exactos, periódicos puros y periódicos mixtos. Reconocer los números irracionales como números decimales no periódicos con infinitas cifras. Clasificar los números decimales en racionales e irracionales. Representar los números racionales e irracionales en la recta real.  Utilizar los intervalos para expresar conjuntos de números. Calcular aproximaciones de un número irracional por exceso y por defecto.  Aproximar números utilizando las técnicas de redondeo y truncamiento.

ENSEÑAR MATEMÁTICAS

El arte de enseñar matemáticas requiere de un dominio de las matemáticas, de las técnicas de enseñanza y del manejo de los materiales disponibles. Para enseñar matemáticas, primeramente debemos motivar a nuestros alumnos para que ellos deseen aprender. Si no existe este deseo, no habrá un aprendizaje significativo. Por esto es importante que tengamos confianza y mostremos alegría de trabajar la matemática con nuestros alumnos. Diferentes maneras de enseñar Matemáticas. Para decidir cómo enseñar matemáticas debemos recordar que el método que usemos depende del objetivo que deseemos lograr. En nuestras clases de matemáticas generalmente tratamos de lograr algunos de los siguientes: Conocimiento de hechos, conceptos o procesos matemáticos tales como la obtención de la raíz cuadrada de un número. Habilidad en el cálculo numérico, en la resolución de problemas, como por ejemplo la solución de ecuaciones. Aplicaciones de conceptos y procesos en la solución de teoremas. Formación de cualidades mentales como actitudes, imaginación o un espíritu creador. Desarrollo de hábitos de estudio personales basados en la curiosidad, la confianza e intereses vocacionales. Algunos tipos de lecciones que se utilizan en la enseñanza de las matemáticas: La forma tradicional. La manera más común de presentar una lección es la siguiente: Revisión de la tarea, aclarando dudas. Presentación del tema. Tarea. Esta manera tradicional es útil si todo se hace bien. Los maestros la aplican para obtener toda clase de objetivos pero no debe ser la única forma que se utilice para presentar una clase, se necesita que estemos atentos a las preguntas de los alumnos y que las usemos como base para cualquier explicación correctiva o aclaratoria. La comunicación con los alumnos debe ser clara, simple y entusiasta. Aquello que aparentemente es obvio para nosotros no siempre lo es para nuestros alumnos. A veces es necesario escribir las palabras o símbolos en el pizarrón para que todas las expresiones que utilicemos sean comprendidas y analizadas visualmente. Debemos asegurarnos que nuestros alumnos reaccionen ante nuestros estímulos. El aprendizaje de las matemáticas no es deporte para espectadores.  Hacer preguntas y asignar tareas son necesarias para crear sentimientos de éxito y de cooperación. Algunas veces es apropiado emplear horas de trabajo, preparadas de antemano, para que los alumnos puedan disponer de materiales diferentes a los que exponen en el libro de texto. Debemos utilizar los errores cometidos en la resolución de problemas o en respuestas a preguntas simples, no para criticar o avergonzar a los alumnos, sino para corregirlos aceptando al mismo tiempo, en forma abierta, nuestros propios errores o las dificultades que se presenten en la enseñanza. Debemos pedir ayuda a nuestros alumnos para poder enseñar mejor. De ser posible introducir un tema en forma dramática, con una anécdota, datos históricos o con antecedentes que nos permitan hacer que la clase sea importante. Es recomendable presentarle a los alumnos siempre el objetivo general de la clase para que ellos comprendan su importancia y cómo se relaciona a otros temas. Al finalizar el trabajo siempre es conveniente hacer un resumen de los puntos sobresalientes, lo cual a la vez nos servirá como base para futuras lecciones. El éxito del trabajo depende de cómo lo hemos preparado. La presentación y solución de problemas o demostraciones sencillas son también necesarias, anote preguntas claves que desee hacer y encuentre el material que añada significado a las explicaciones que aparezcan en el libro de texto. Un segundo tipo de trabajo es aquel llamado Sesión de laboratorio o Taller de Matemáticas. Aquí el alumno puede realizar experimentos, mediciones, diseños, dobleces, coleccionar datos, hacer modelos, o aplicar principios matemáticos a problemas de la vida real, problemas que se presenten fuera del salón de clase. Estas actividades generalmente se describen en una hoja de trabajo ya sea individual o de grupo. Algunas veces requieren de un experimento presentado primero por el maestro. El objetivo es describir conceptos nuevos, fórmulas, operaciones o aplicaciones. Por ello es el más apropiado para el aprendizaje de conceptos nuevos. El éxito depende de la adquisición del material adecuado y de guías de trabajo que dirijan al alumno a la obtención de una correcta generalización. Una tercera manera de presentar la clase es aquella en que el alumno la expone. Uno de los alumnos actúa como el instructor de toda la clase, o en algún tema de la misma. Este alumno aprende mejor la lección al estarla preparando y al presentarla dominará aún más los conceptos. En algunas ocasiones él puede obtener mejores resultados que el maestro, debido a que percibe mejor las dificultades que presenta el aprendizaje, emplea un lenguaje más similar al que utilizan sus compañeros y podrá tener mejor aceptación que el maestro. Al realizar esta actividad el alumno acrecienta su habilidad para comunicarse, desarrolla su capacidad para dirigir un grupo, aprende a aceptar su responsabilidad, comprende los problemas de aprendizaje de sus compañeros y empieza a comprender los problemas a los que se enfrenta su maestro. La enseñanza individualizada es el cuarto tipo de trabajo. Es esta situación los alumnos trabajan a su propio ritmo. Se les dan instrucciones de lo que deben aprender, las explicaciones que deben repasar, los problemas a resolver y las pruebas que deberán presentar, al completar un tema y pasar la prueba continuará la siguiente lección. si no pudiese pasar la prueba recibe explicaciones adicionales y deberá presentar otra prueba. Esto significa, que es necesario el uso de mucho material didáctico tales como textos programados, filminas, películas, grabaciones, programas tutoriales de computadora, etc. La justificación para el empleo de este método estriba en que nos ayuda a resolver el problema de las diferencias individuales, refuerza las repuestas apropiadas, corrige errores y proporciona material correctivo. Por ello es el método más adecuado para enseñarles habilidades. Sin embargo este tipo de trabajo presenta serias dificultades. No proporciona interacción entre los alumnos y el maestro no tiene tiempo suficiente para dar a todos la atención que requieren para corregir sus errores. Aquellos alumnos que han obtenido el menor aprovechamiento y que son los que necesitan mayor atención individual no pueden funcionar plenamente en este sistema, dado que su comprensión de la lectura es pobre y no están motivados para trabajar de la manera independiente. A menudo el maestro utiliza este sistema para evitar el trabajo de preparar y presentar una lección. No es manera adecuada para desarrollar la habilidad en la resolución de problemas o el dominio de conceptos. Estudios estadísticos en investigaciones realizadas en los Estados Unidos nos informan que no han obtenido éxito con su utilización. Un quinto tipo de lección, que resulta interesante, es el uso de juegos de competencia en resolución de problemas. Las actividades de estos juegos son particularmente apropiadas para formar actitudes positivas hacia la matemática, practicando habilidades y destrezas y desarrollando soluciones a problemas. Participar en una competencia requiere de una empresa diligente en actividades de aprendizaje, ya que participante aprende a relacionar ideas al tratar de resolver los problemas que se plantean, la competencia requiere que el alumno trabaja rápida y efectivamente. También debe aceptar la responsabilidad de seguir las reglas del juego e interactuar con otros participantes. Una competencia será efectiva en la medida en que sea usada apropiadamente. La competencia debe involucrar ideas o problemas que sean parte del trabajo regular de clase y debe de aprovecharse para ir distinguiendo el tipo de actitudes que tienen los estudiantes para resolver problemas y hacerles notar los errores cometidos.