martes, 22 de noviembre de 2011

TEORÉMA DE PITÁGORAS

El teorema de Pitágoras
    En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:  
    • Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.
    • En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.
    Triángulo rectángulo
    Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
    Triángulo rectángulo y teorema de Pitágoras
    Demostración: Demostración nº1 Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura de la derecha. El área de este cuadrado será (b+c)2. Demostración nº2 Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2): más el área del cuadrado amarillo . Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:
    Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos:
    si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:
    que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:

HOMOTECIA

Las homotecias transforman una figura plana en otra figura de igual forma, pero de menor o mayor tamaño, según el valor de la razón, k. Si k es positivo la homotecia es directa, y si no, es inversa.



Homotecia directa y homotecia inversa

En una homotecia de centro el punto O y razón k:
  • Si k > 0, A y A′ están al mismo lado de O, y se dice que la homotecia es directa.
  • Si k < 0, A y A′ están a distinto lado de O, y se dice que la homotecia es inversa.
A la figura ABCD le hemos aplicado una homotecia de centro O y razón k, con k > 0; homotecia directa.
A la figura ABC le hemos aplicado una homotecia de centro O y razón k, con k < 0; homotecia inversa.

Imagen:Homotecia directa Homotecia directa
 

 

Imagen:Homotecia inversa
 
 
 
 
Homotecia: Transformación en el plano con respecto a un centro O que permite obtener un polígono semejante a otro polígono dado.
La figura A'B'C' se construyó tomando el punto O y trazando paralelas al triángulo ABC.
Triángulo OCB es semejante a Triángulo OC'B', entonces: OB'/OB=OC'/OC=B'C'/BC
Triángulo OCA es semejante a Triángulo OC'A', entonces: OC'/OC=OA'/OA=C'A'/CA
Luego, concluimos que: B'C'/BC=C'A'/CA
Lo anterior es válido para todos los lados correspondientes:
B'C'/BC=C'A'/CA=B'A'/BA=k (factor de conversión)
Por tanto Triángulo ABC es semejante a Triángulo A'B'C'

LOS TRIÁNGULOS

Triángulos

El triángulo es la porción de plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos.

Los puntos de intersección son los vértices del triángulo: A, B y C.

Los segmentos determinados, son los lados del triángulo: a, b y c.

Un triángulo tiene elementos: 3 ángulos, 3 lados, 3 vértices.




Clasificación de los triángulos.

a) Atendiendo a sus lados

- El triángulo escaleno tiene tres lados distintos.

- El triángulo isósceles tiene dos lados iguales y otro desigual.

- El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales.



Se llama ángulo de un triángulo, al ángulo que forman las rectas sobre las que se apoyan dos de sus lados incidentes en un vértice.

b) Atendiendo a sus ángulos:

- El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto.

- El triángulo acutángulos los tres ángulos son agudos.

- El triángulo obtusángulo tiene un ángulo obtuso.


Rectas y puntos notables en el triangulo
Las medianas de un triángulo son los segmentos que unen los vértices con los puntos medios de sus respectivos lados opuestos.

El baricentro de un triángulo es el punto en el que se cortan las tres medianas.



La distancia de un vértice del triángulo al baricentro: punto de corte de las medianas, es siempre el doble que la distancia del baricentro al punto medio del lado opuesto. Expresado de forma más simple el baricentro se encuentra del vértice a una distancia 2/3 de la mediana.



Las alturas de un triángulo son los segmentos que unen los vértices con sus respectivos lados opuestos, o con sus prolongaciones, y son perpendiculares a estos.

El ortocentro de un triángulo es el punto en el que se cortan las rectas que contienen las tres alturas.



Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen cada uno de sus ángulos en otros dos iguales.

El incentro de un triángulo es el punto en el que se cortan sus tres bisectrices. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita.



Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada uno de los lados que los cortan por sus puntos medios.

El circuncentro de un triángulo es el punto en el que se cortan sus tres mediatrices. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita.



Un ángulo exterior de un triangulo es el formado por un lado y la prolongación de otro.



Propiedades de los Triángulos
- La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo vale dos ángulos rectos.

- La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale un ángulo recto.

- Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.

- Un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que la diferencia.