Los números racionales junto con los números irracionales forman los números reales. Hoy en día no podríamos entender las matemáticas sin estos conceptos, que ya eran usados por algunas de las civilizaciones de la antigüedad. La intuición de que existen números con escritura decimal no periódica, cuyas cifras se suceden indefinidamente sin obedecer a ley alguna determinada, es clave para la construcción conceptual de los números reales.
La contraposición de los números irracionales a los racionales hace que sea conveniente su introducción a partir de secundaria. En este curso los alumnos ya tienen amplios conocimientos aritméticos y geométricos de los números naturales, enteros y racionales, por lo que la inclusión de los irracionales es casi una necesidad. Posteriormente los alumnos continuarán ampliando los conocimientos y aplicaciones sobre los números reales en Bachillerato, tal y como lo recogen los currículos vigentes. El tratamiento de esta unidad en la secundaria. será en principio fácil, ya que los números racionales e irracionales son usados en la vida cotidiana. Esto se lo deberemos hacer ver a los alumnos para despertar así su interés y curiosidad en el tema. Los números racionales o fracciones aparecieron muy pronto en la historia de las matemáticas. Como la gran mayoría de los conceptos matemáticos, su descubrimiento fue debido a la necesidad de resolver un problema. Los antiguos necesitaban medir longitudes, áreas, tiempo, pesos y todo otro tipo de medidas. Al enfrentarse a esto en la vida cotidiana, pronto descubrieron que no era suficiente poder contar con los números naturales para hacerlo de manera exacta, ya que estas medidas eran susceptibles de divisiones más pequeñas que la unidad, o divisiones mayores que la misma pero que no eran números naturales, por lo que fue necesario ampliar el concepto de número natural. Así surgieron los números racionales. Las fracciones aparecen ya en los primeros textos matemáticos de los que hay constancia, quizás uno de los más antiguos y más importantes sea el Papiro Rhind de Egipto, escrito hacia el 1.650 a .C. y que pasa por ser la mayor fuente de conocimiento de la matemática egipcia.
En Occidente tuvieron que pasar muchos siglos hasta que los musulmanes introdujeron su sistema de numeración, conocido como indoarábigo. Este paso fue clave para la comprensión y el estudio de los números racionales en la vieja Europa. Sin embargo, no fue hasta el S. XIII cuando Leonardo de Pisa, más conocido por su apodo Fibonacci, introdujo el concepto de números quebrados o números “ruptus”, empleando además la raya para separar el numerador del denominador. Irracionales. El concepto o la idea de número irracional apareció pronto en la geometría. Ya los antiguos griegos observaron que los números racionales no completaban la recta. Quizás el primero en constatarlo fue el célebre filósofo y matemático griego Pitágoras de Samos (582 a .C. – 507 a .C.), quien estudiando un triángulo rectángulo con catetos de longitud uno, observó que la longitud de la hipotenusa de dicho triángulo no podía tener un valor racional. Con esto demostró la no completitud de los números racionales y dedujo la existencia de unos números hasta entonces desconocidos. La Escuela Pitagórica llamó a dichos números inconmensurables. Al principio la aparición de estos “desconocidos” desconcertó de forma alarmante a los miembros de la Escuela Pitagórica , pues la existencia de los irracionales ponía en evidencia que muchas suposiciones y demostraciones de la geometría eran falsas o estaban incompletas. La sorpresa y preocupación llegó hasta tal punto que llegaron a plantearse el mantener en secreto estos números que contradecían su doctrina, que entre otras cosas preconizaba “la adoración del número como ente perfecto que gobernaba el universo y todo lo que en él existía”. Tres siglos después de su descubrimiento, Euclides trata en su obra “Los Elementos” el tema de los números irracionales, y llega a demostrar que la raíz cuadrada de dos no puede ser un número racional. Los matemáticos griegos posteriores estudiaron además de estos irracionales sencillos, otros cada vez más complicados, encontrándose tipos como raíz cuadrada de (raíz cuadrada de a + raíz cuadrada de b) y otros semejantes, pero nunca llegaron a tener la idea general de número irracional. Esta idea aparece ya bien entrado el siglo S. XVI, al considerar la idea de un número decimal aperiódico, esto es un número decimal cuyas cifras se sucedían de manera indefinida sin obedecer a ley alguna determinada. Las matemáticas contribuyen decisivamente en la consecución de los objetivos generales de la Educación Secundaria. Durante su aprendizaje los alumnos van desarrollando su capacidad de reflexión lógica y su capacidad de pensamiento y abstracción. El objetivo general de la asignatura de matemáticas durante la secundaria. debe ser, además de dar a los alumnos unos conocimientos para su futuro laboral y profesional, el que adquieran los conocimientos necesarios para desenvolverse como ciudadanos capaces de ejercer sus derechos y deberes en nuestra sociedad actual. Para tal fin es necesario un correcto conocimiento de los conceptos de los números reales y su división en números racionales y números irracionales. Por lo tanto la unidad de los números racionales e irracionales resulta ser una unidad básica para poder cumplir los objetivos de materia y de etapa. A demás cualquier unidad didáctica que quiera tratar este tema, deberá tener unos objetivos propios básicos, que serán: Incorporar al lenguaje utilizado en la comunicación habitual las diversas ampliaciones del campo numérico, para aumentar la comprensión de los fenómenos que nos rodean. Clasificar los distintos tipos de números: naturales, enteros, racionales... para un mejor conocimiento de los mismos, de manera que se amplíe la capacidad de comunicación y comprensión frente a los fenómenos que nos rodean. Definir el conjunto de los números reales. Determinar propiedades y operaciones que se realizan con los números reales. Representar en la recta numérica números reales. Establecer la nomenclatura adecuada para designar tramos en la recta real. Leer y escribir correctamente cantidades expresadas en notación científica. Utilizarla de manera adecuada para comunicar información en los casos que así lo aconsejen. Manejar con soltura los números racionales e irracionales en la calculadora. Reconocer las posibilidades de la notación científica para expresar de modo muy comprensivo números muy grandes o muy pequeños. Profundizando y buscando unos conceptos más específicos podríamos definir los siguientes objetivos, Expresar fracciones en forma decimal. Distinguir los números decimales exactos, periódicos puros y periódicos mixtos. Obtener la expresión fraccionaria de los números decimales exactos, periódicos puros y periódicos mixtos. Reconocer los números irracionales como números decimales no periódicos con infinitas cifras. Clasificar los números decimales en racionales e irracionales. Representar los números racionales e irracionales en la recta real. Utilizar los intervalos para expresar conjuntos de números. Calcular aproximaciones de un número irracional por exceso y por defecto. Aproximar números utilizando las técnicas de redondeo y truncamiento.
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