Didáctica de la Matemática (libro II)

DE LA DIDACTICA GENERAL A LA DIDACTICA PARTICULAR

Comenius y Pestalozzi: Principios de la escuela activa

Comennius distinguía diferentes estratos, según la edad, y a cada uno de estos señalaba un determinado programa de instrucción. No se trataba de cambiar temas, sino de tratar los mismos con maneras diversas.

Pestalozzi decía que el hacer que los alumnos tracen líneas, ángulos y círculos así se da precisión a la intuición de cada objeto y se genera en el alumno una energía activa que lo llevará al conocimiento claro de todo aquello que entrará en el círculo de sus experiencias.

Comenius y Pestalozzi sintieron cuales debían ser los principios fundamentales de cada educación, "escuela activa", que se apoya en dos ideas fundamentales:

a) método de enseñanza por ciclos

Programa unitario desmenuzado a lo largo de todo el curso de estudios

b) método intuitivo-constructivo

Constante actividad por parte del alumno, a través de la intuición=construcción

Decroly y Montesori: Los principios de la pedagogía científica

Montesori: se trata de un método activo-sintético. Sintético porque es constructivo, de los elementos se pasan al conjunto, a lo global.

Decroly: de la observación global lo conduce a la descomposición del fenómeno, al análisis.

Jean Piaget: Didáctica Psicológica

Piaget decía que no estaba de acuerdo con los métodos anteriores porque el concepto de numero en los pequeños no se encontraba ya ahí, había que tener todo un proceso para obtener el concepto.

a) experiencia de la conservación de los conjuntos

La comprensión por el pequeño es exclusivamente de carácter perceptivo. Solamente hasta los 6 años se tiene la conservación de conjunto y la ley de reversibilidad.

b) experiencia del ordenamiento en serie

Para formar el concepto de número es necesaria también una condición de orden; el niño debe estar en posibilidad de poder ordenar en sucesión los elementos, y esto no se obtiene sino hasta los 5 o 6 años.

ASPECTO PRÁCTICO Y TEÓRICO DEL NÚMERO.

Las dificultades que ofrece la enseñanza de la aritmética se debe, sobre todo, al fuerte contraste entre la parte considerada, cuestiones de carácter práctico y la parte...

LOS PRINCIPIOS DE LA EDUCACIÓN:
Individualización
Socialización
Autonomía
Creatividad
Actividad

PLAN PARA REALIZAR LA ENSEÑANZA HEURISTICA

1.- Entender el problema

Se analiza detalladamente el enunciado hasta fijar con precisión la incógnita, los datos y las condiciones

2.- Imaginarse el plan

Corresponde a la primera parte del verdadero proceso heurístico. El discípulo debe establecer un plan que conduzca a la solución. Debe recurrir a su intuición e imaginación en busca de la idea brillante que de la solución.

3.- Realizar el plan

Consiste en efectuar el plan. Para ello debe efectuar las operaciones necesarias, ya sea geométrica, aritmética o algebraica

4.- Revisión crítica

Aquí se efectúa una revisión crítica del trabajo realizado en los pasos anteriores

PLAN DE ESTUDIOS


* Diferencia entre plan de estudios y programas
La diferencia entre el plan de estudios y programas es que el primero es general, un esquema de las ramas de la matemática distribuidas por curso; y el programa es el esquema de los temas de matemática de cada curso.


*Diferencia entre los programas generales y los programas anuales
La principal diferencia es que los planes que elabora un profesor durante el curso son más detallados; en el se plantean objetivos específicos, actividades, materiales, recursos humanos, etc. Para cada uno de los temas planteados en el plan general.


*¿Es conveniente la elaboración de un programa analítico, bien detallado para la enseñanza matemática?
No es conveniente pues yo que en I y II ciclo es profesor da las materias básicas y debe tratar de intercalar las enseñanzas. Un programa analítico limita la acción del profesor, lo obliga a seguir detalle a detalle lo que se plantea: con algunos alumnos de I y II ciclo es mas difícil saber cuándo, cómo, hasta donde debe darse un tema.

Con un programa no analítico el profesor tendrá mas libertad de juzgar, bajo su criterio, hasta donde y como introducir el tema.


*"Un texto de matemáticas completamente riguroso es su fundamentación y desarrollo no resultaría apropiado para alumnos del primer ciclo"
La frase es atinada, puesto que el nivel mental de alumnos I y II del ciclo, se ha comprobado, que es mas intuitivo y hasta después de varios años tendrá capacidad para observar y hacer los trabajos en forma rigurosa.

Es conveniente ejercitar más la intuición durante esa época y no la rigurosidad; su capacidad de abstracción es menor.


*Recomendaciones para escribir un texto de matemáticas
a) Tomar en cuenta el nivel matemático de los alumnos a los que va dirigido el texto.

b) Ser mas intuitivo y menos riguroso

c) Ampliar sobre historia de la matemática

d) Sencillez, claridad, precisión en el lenguaje


CARACTERISTICAS DE LOS PLANES DE ESTUDIO


a) Contenido de la enseñanza

b) Distribución de los recursos

c) Orientación

1.- racional: sistematización de la matemática tal cual ella es

2.- intuitiva: apelación al sentimiento común: imaginación, intuición, experiencia.

3.- psicológica: toma en cuenta las dos orientaciones anteriores y la capacidad intelectual de los discípulos en su aspecto evolutivo


PROGRAMAS


a) Generales

1.- enunciación de temas según ordenamiento lógico y secuencia

2.- tratamiento de cada tema

b) Detallados (elaborados por el profesor)

1.- distribución de los temas a través del año lectivo

2.- indicación de los trabajos a realizar



CARACTERISTICAS DE UN BUEN TEXTO


a) Exposición didáctica

b) Claridad, sencillez de estilo y precisión del lenguaje

c) Inclusión de ejercicios y problemas para cada tópico

d) Relación con otras disciplinas

e) Sugestivo tratamiento de los nuevos conceptos sin perder la generalidad y abstracción matemática

f) Contenido, extensión e intensidad adecuados al nivel



LA CLASE


La clase no debe ser considerada únicamente como unidad horaria, si no como una unidad psicológica en la cual se cumple el ciclo completo de la adquisición, por el alumno, del conocimiento de un punto fundamental del programa, incluyendo su ejemplificación y aplicaciones.

PASOS DEL CICLO DE MORRISON 
(Para la formación de conceptos)

a) Exploración
Recuerdos de cuestiones anteriores por los alumnos y que tienen relación con el tema nuevo. Pueden concretarse 3 objetivos de este paso:
1.- posibilidad de controlar el rendimiento de enseñanzas anteriores en forma individual y colectiva
2.- recordar conocimientos que se ligan con el asunto y que servirán de base a su estudio
3.- averiguar los conocimientos que pudieran tener los alumnos del tema de la clase, previamente a su enseñanza metódica
Puede efectuarse por medio de interrogatorios en los que participa toda la clase

b) Presentación
Tiene como objetivo poner a los alumnos en contacto con el nuevo tema. Esta presentación debe ser hecha en forma clara y sugestiva para despertar el interés de los alumnos al mismo tiempo que proporcionarles elementos necesarios para que puedan encarar la solución de sus propios medios.

c) Asimilación
Comprende la etapa fundamental del ciclo, consistente en la elaboración y aprehensión de los conocimientos por el alumno. No es propiamente un paso, sino más bien un proceso.
La asimilación que pueda realizarse en la clase, tiene su complemento en el estudio que el alumno debe efectuar fuera del horario escolar, utilizando los textos.

d) Organización
Consiste en una sistematización y valoración de lo aprendido. Constituye un acto crítico, cuyo objetivo es, que el alumno pueda extractar, de todo lo tratado en clase, aquello que es fundamental.


e) Aplicación
Constituye el último paso de la enseñanza: se trata de que el alumno demuestre el rendimiento de la enseñanza, ya sea repitiendo lo enunciado o aplicándolo a la resolución de cuestiones que se plantean.

LA CONDUCCION DE LA CLASE

1.- Objetivo

Que los alumnos desarrollen un alto grado de actividad razonadora

2.- Tipos

a) Exposición del profesor:
Ordenación lógica.
Ejemplificaciones.
Recursos del buen expositor

b) Interrogatorio:
Ordenación lógica.
Adaptación del nivel mental de los alumnos.
Lenguaje sencillo
Preguntar referidas a ideas generales dirigidas a toda la clase y que exijan respuesta original

c) Heurístico
Entender el problema
Imaginarse el plan
Realizar el plan
Revisión Critica

EL USO DE LA CALCULADORA II

El uso de la calculadora en la actualidad ha ocupado espacio en todos los niveles educativos en diferentes países, resultado natural del desarrollo tecnológico en una sociedad. El hecho de tener acceso a ella por la gran cantidad existente en el mercado y por su bajo costo hace inevitable su utilización —cabe mencionar que en la actualidad existen en el mercado los tres tipos de calculadora.

En México, la Secretaría de Educación Pública incluyó en la reforma curricular de 1992 una clara recomendación para que se incorporara el uso de la calculadora en el nivel de educación básica. Pero, como sabemos, una instrucción oficial no es suficiente para introducir una innovación, para que tal iniciativa del estado se refleje en el aula se requiere un intenso y cuidadoso trabajo de formación de profesores que conduzca a la creación de una nueva cultura en el aula.

La calculadora fue introducida en el mercado como una herramienta genérica para facilitar la realización de cálculos aritméticos, con el tiempo y a partir de una demanda creciente se han venido creando modelos cada vez más sofisticados y en la actualidad se cuenta con versiones que ofrecen recursos que han convertido a la calculadora en un potente procesador matemático que admite todo tipo de manipulación numérica y algebraica, que facilita el análisis del comportamiento de funciones a través de gráficas y tablas, y más recientemente, ofrece herramientas que permiten realizar casi cualquier cosa que involucre la geometría con regla y compás. Estos nuevos recursos de la calculadora han llamado la atención de profesores e
investigadores que se han propuesto explotar esas facilidades de la nueva tecnología para aprovecharlas en la enseñanza.

Podemos distinguir dos niveles en la incorporación de la calculadora en el aula:

(i) adaptación de los recursos de la calculadora a las formas de enseñanza usuales; y (ii) concepción de nuevas formas de enseñanza a la luz de los recursos que ofrece la calculadora.
El primero de estos niveles se caracteriza por promover que los estudiantes usen la calculadora para verificar sus cálculos, ya sea en la ejecución de ejercicios o en la resolución de problemas. Otra característica de este nivel de uso de la máquina es que el profesor la empleé para apoyar sus exposiciones y las discusiones con el grupo escolar acudiendo a un accesorio que le permite proyectar la pantalla de la calculadora en una pantalla de pared.




El segundo nivel de uso de la calculadora conduce a la creación de nuevos enfoques didácticos que implican de manera inmediata una revisión de nuestras concepciones sobre la enseñanza y el aprendizaje. En esta línea de trabajo se ubica esta presentación.

La propuesta didáctica que aquí se desarrollará se basa esencialmente en dos premisas:

1. Concebir a la aritmética y el álgebra como sistemas de signos que constituyen un lenguaje mediante el que se expresan, manipulan y comunican las ideas matemáticas.
2. Incorporar la calculadora en el aula como el ambiente de trabajo que exigirá al profesor y al estudiante emplear los lenguajes de la aritmética y el álgebra como medio de comunicación.




En la actualidad existe consenso acerca de cuáles son las metas de la Enseñanza de la Matemática, qué se debe buscar en su aprendizaje, qué tipo de enseñanza es adecuada a estos propósitos, qué papel juega la resolución de problemas, y de qué manera influyen las creencias y actitudes de los profesores e investigadores en la búsqueda de estas metas. Esta nueva visión se refleja, por ejemplo, en las sugerencias aportadas por instituciones profesionales tales como el Consejo Nacional de Profesores de Matemática (NCTM, 1991) de los E.E.U.U., al recomendar que la enseñanza de la matemática se haga de manera activa, desarrollando una forma de pensar que pueda dar sentido al entorno y aplicando toda la tecnología disponible.

La visión actual de la Comunidad Internacional vinculada a la enseñanza de la matemática ha cambiado su perspectiva. Esta nueva visión define a las matemáticas como una actividad social y cultural en la que el conocimiento no se descubre, sino que se construye a partir de la experimentación, formulación, contrastación y justificación de conjeturas. Asimismo promueve mirar el entorno desde un punto de vista matemático buscando patrones y regularidades en las situaciones problemáticas.

Este cambio de perspectiva hace que hoy en día la enseñanza y la reforma del curriculum sean uno de los temas principales en todos los congresos de Enseñanza Matemática. Los cambios curriculares que se proponen ya no son simples adaptaciones de los algoritmos matemáticos a nuevos métodos de aplicación, los avances tecnológicos constituyen la fuerza que impulsa un cambio curricular acorde con los cambios que están aconteciendo en la sociedad en su conjunto.

El curriculum de matemática está cambiando lentamente, y la tendencia es gastar menos tiempo en métodos de lápiz y papel y más tiempo en aplicaciones, resolución de problemas, desarrollo de conceptos y temas nuevos. Los métodos de enseñanza también están cambiando hacia una aproximación investigativa y exploratoria, contando con la contribución de las nuevas tecnologías para el desarrollo de esta perspectiva.




Tanto dentro como fuera de la comunidad educativa, la introducción de la calculadora en el currículum de la enseñanza primaria ha suscitado un importante debate en torno a las presuntas consecuencias negativas que su uso puede tener sobre el aprendizaje y sobre cual es la edad más adecuada para iniciar a los alumnos en su uso.
Aunque existe una extensa documentación sobre los beneficios del uso de la calculadora, existen muchos escépticos, los cuales afirman que puede perjudicar la habilidad matemática de los alumnos.

Algunos padres y educadores que se resisten a la incorporación temprana de la calculadora basan sus creencias, fundamentalmente, en mitos muy difundidos, tales como:
1º) que la calculadora no desarrolla el razonamiento matemático, puesto que para utilizarla basta con seguir exactamente las instrucciones de funcionamiento y

2º) que la calculadora limita la adquisición de las habilidades de cálculo numérico de los alumnos.
Sin embargo, mucho se ha escrito y hablado a propósito del papel que debe jugar la calculadora y de su influencia en el desarrollo del pensamiento matemático. El Informe Cockcroft (1985) afirma que “la investigación ha demostrado que, los alumnos habituados a usar la calculadora mejoran su actitud hacia la matemática, las destrezas de cálculo, la comprensión de los conceptos y la resolución de problemas”. Desde su invención hace más de 30 años, las calculadoras han evolucionado desde la más simple de solo cuatro funciones, hasta la nueva generación de calculadoras gráficas. Por otra parte, el costo de la calculadora básica, es tan bajo que cada alumno de la escuela primaria puede tener una. Ya que las calculadoras son usadas frecuentemente en el “mundo real”, parece prudente que los maestros proporcionen a los estudiantes oportunidades para usarlas en las escuelas.

Asimismo, la investigación sugiere que la calculadora es una herramienta valiosa, que
enriquece la comprensión matemática. Su uso proporciona a los maestros y alumnos más
tiempo para concentrar el esfuerzo y la atención en la comprensión de conceptos y en el
pensamiento crítico, además, estimula la exploración natural de estrategias y la aplicación de
procedimientos intuitivos.
A la luz de los resultados obtenidos en muchas investigaciones, los educadores en
matemática recomiendan el uso de la calculadora en la escuela primaria desde la década del
80, reflejando así, el cambio en la sociedad que pasó de realizar cálculos con lápiz y papel al
uso dominante de la calculadora en los lugares de trabajo. Pero aún hoy, estas tienen un uso
limitado en la escuela primaria.
¿Por qué si los educadores en matemática recomiendan el uso de la calculadora, esta tiene
poco impacto en la escuela?
Una posible respuesta a esta pregunta es que, los maestros y directores no comparten con
los educadores en matemática, las mismas creencias acerca de los beneficios de la calculadora.
Las investigaciones realizadas sobre este tema encontraron que las creencias, pensamientos,
juicios y conocimiento acerca de una innovación tecnológica, influyen en el grado en que esta
es evaluada e implementada.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL USO DE LA CALCULADORA

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL USO DE LA CALCULADORA

VENTAJAS

1º. Las calculadoras favorecen las relaciones entre matemáticas y realidad.
Podemos trabajar con los datos que obtenemos de la experiencia, no necesitan ser modificados para facilitar su tratamiento.

Se facilita el estudio de nuevas aplicaciones, en especial aquellas que necesitan el tratamiento de la información para realizar después un análisis gráfico, funcional o estadístico.
Posibilitan la adquisición de más experiencias prácticas que crearán modelos mentales para la introducción de un determinado concepto o para establecer conexiones con otros conocimientos matemáticos.
Todo esto influye positivamente sobre la forma en que los estudiantes ven las matemáticas; de esta forma son percibidas como una herramienta que sirve para resolver problemas.

2º. Con la utilización de calculadoras se propicia que el estudio de las matemáticas se centre más en los conceptos y su interconexión.
Estas relaciones se pueden favorecer con:
El tratamiento de distintos tipos de cálculo: mental, escrito, aproximado y con calculadora.
La utilización de diferentes procedimientos para una misma tarea, como ocurre en los métodos algebraicos, iterativos y gráficos para la resolución de ecuaciones, que en principio pueden ser diferentes, pero tienen bases comunes y complementarias.
La conexión de las diversas partes de forma que cualquier trabajo que se haga en una de ellas tenga aplicaciones en las demás.

3º. Favorece el planteamiento de ciertas actividades matemáticas.
Es este un tipo de trabajo que siempre se ha visto obstaculizado por la falta de tiempo en nuestras clases; con la calculadora podemos disponer de parte del tiempo que hasta ahora se dedicaba a la consolidación de destrezas y a la realización de operaciones. Las calculadoras actuales permiten automatizar el trazado de la gráfica de una función o la realización de operaciones con matrices para obtener resultados con rapidez y continuar con nuestra tarea.

4º. El uso de las calculadoras da un desplazamiento de la atención de las matemáticas.
Cualquier nuevo recurso provoca interferencias iniciales en las clases de matemáticas; esto hace que se modifique en mayor o menor medida la práctica del aula. Con las calculadoras se da un desplazamiento de la atención de las matemáticas; por una parte, ciertos temas matemáticos pierden parte de la importancia que se les daba, y por otra ciertas prácticas escolares dejan de rendir el beneficio pretendido:
Adquieren mayor relevancia los conceptos y la forma en que se sustentan en el aprendizaje a partir de modelos sacados de la realidad y de aprendizajes anteriores.
Se desplaza también del estudio de las operaciones a la propia selección de las operaciones para resolver un problema determinado.
En la resolución de un problema matemático, deja de preocuparnos la realización de los cálculos para centrarnos en los métodos de resolución, en la búsqueda de estrategias, en el análisis de los resultados, etc.

5º. Se favorece la creación y utilización de estrategias personales.
El aprendizaje de las matemáticas es un continuo avance en el proceso de esquematización del estudiante, y este proceso se ve mejorado cuando es el mismo estudiante el que ha de encontrar su propio procedimiento que lleve a la solución.
En el campo de las destrezas de cálculo, cuando una persona consigue crear un algoritmo propio para realizar una operación, estará más preparada para comprender el algoritmo tradicional. En lugar de memorizar una regla, la podrá comparar con su propio procedimiento para encontrar semejanzas y diferencias.
Estará más preparado para apreciar la belleza y elegancia del algoritmo tradicional, proceso que ha sido depurado a lo largo de siglos de práctica.
Fielker señala que "la creación de un algoritmo propio para resolver un problema, hace que se pongan en funcionamiento los conocimientos que se poseen. Pero ellos llegan más lejos, porque desarrollan un nuevo conocimiento, destrezas e ideas en el transcurso del trabajo".
Los procedimientos de los estudiantes tienen una mayor aportación de la intuición y de los esquemas de pensamiento del individuo, pero muy a menudo se basan en estrategias repetitivas que pueden ser utilizadas únicamente con la ayuda de la calculadora. Además, en algunos casos, podemos aprovechar la monotonía de estos métodos para incitar a los estudiantes a dar el paso en la búsqueda de métodos más generales como los algebraicos.




DESVENTAJAS :

Incapacidad de dar un resultado exacto (radicales y numeros trascedentales), creacion de dependencia del artilugio ycon el consecuente detrimebnto de las hablidades mentales de calculoMuchas es veces es mas rapido hacer operaciones artimeticas sencillas de pocas cifras que con la propia calculadora, comprobado por experiencia propia!Los matematicos no hacen "cuentitas", sucede que a los ingenieros principlamente y a los fisicos, los que les interesa es cuantificar numericamente los efectos de una variable en determinado fenomeno fisico!

Uso de la Calculadora en el Aula

¿Por qué la calculadora en las aulas?

En nuestra sociedad actual hay una variedad de estrategias de cálculo mucho mayor de las que vivenen la escuela. La situación se ha invertido con respecto a algunas décadas atrás: desde una escuela quepretendía difundir conocimientos de uso social restringido a una escuela que sigue difundiendo conocimientossociales casi fuera de uso y que no ha incorporado como objetos de enseñanza otras prácticas sociales decálculo.Fuera de la escuela utilizamos con mucha mayor frecuencia el cálculo mental, el cálculo estimativo y elcálculo con calculadora que los algoritmos convencionales que hemos aprendido en la misma. ¿Por qué noenseñarles a los alumnos toda esa variedad de estrategias y recursos de uso social actual?Actualmente le pedimos a la escuela que enseñe conocimientos más amplios que el dominio dealgunas técnicas. Es responsabilidad de la escuela formar sujetos capaces de resolver problemas, de tomardecisiones, de producir estrategias propias, de comparar y apropiarse de estrategias pensadas por otros, deanticipar y controlar los resultados a los que arriba, de controlar los recursos que utiliza, de realizar prácticasmatemáticas, etc. En el terreno del cálculo la escuela precisa difundir - además de los cuatro algoritmosconvencionales - una gran diversidad de recursos. Entre ellos: conocer y comprender procedimientos decálculo escrito algorítmico que se usan en otros países y que son tan económicos como los que conocemos,conocer y usar formas diversas de registrar los pasos intermedios que se realizan en los cálculos máscomplejos, dominar estrategias de cálculo estimativo o aproximado, resolver una gran variedad de cálculosmentales orales o escritos y también resolver cálculos y problemas con la calculadora.

Proponemos reemplazar la actividad mecánica y casi “mágica” de los cuatro únicos métodos por unavariedad de recursos que necesariamente involucran la complejidad de los conocimientos matemáticosimplícitos en cada operación. Es decir ampliar el objeto de estudio “cuentas” a un abanico más amplio de recursos de cálculo apuntando a que los alumnos comprendan las razones que subyacen a las técnicas y laspropiedades que esconden las prácticas mecánicas.No hay duda de que los niños precisan un cierto dominio de técnicas de cálculo tanto porque éstastienen su campo de utilidad como porque intervienen en la construcción del sentido de las operaciones. Perotambién es importante que los alumnos mismos sean capaces de establecer los límites de utilización de cadaestrategia, técnica o instrumento.Dominar una variedad de estrategias de cálculo permitirá a los alumnos seleccionar la másconveniente de acuerdo a la situación y a los números involucrados y utilizar una estrategia como modo decontrol de otra.

La calculadora permite abordar también un tipo de práctica anticipatoria. En muchos casos losproblemas que se les proponen a los alumnos les exigen anticipar el resultado y la calculadora es el medio deverificación de los mismos. Esta actividad anticipatoria es una de las principales prácticas matemáticas que seintenta enseñar en la escuela y cuya importancia reside en que la anticipación es justamente aquello queotorga potencia a la matemática misma. Los conocimientos matemáticos permiten conocer la respuesta aproblemas no resueltos empíricamente, es decir a sucesos aún no realizados o bien realizados en otro tiempoy en otro espacio. La calculadora, lejos de convertirse en una herramienta que impide pensar por sí mismos alos alumnos, tiene una enorme potencia para instalar prácticas anticipatorias y de control. Lógicamente, tododepende de las decisiones didácticas que se adopten.

                      PRODUCTOS NOTABLES

EN ÁLGEBRA SE UTILIZAN PARA SIMPLIFICAR OPERACIONES CUANDO TENEMOS UNA MULTIPLICACIÓN  QUE ES FÁCILMENTE MULTIPLICABLE.




BINOMIO AL CUADRADO
binomio : 2 terminos

TENEMOS

            (a+b)²= (a)² + 2(a)(b) + (b)²

(a+b)²=a² + 2ab + b²

ejemplo

(x+3)²= x² + 6x + 9  por producto notable

Haciéndolo sin aplicar formula

(x+3)² = (x+3)(x+3)

= x² +3x + 3x+ 9

 = x² + 6x + 9

BINOMIO AL CUBO

(a+b)³= a³ + 3a ²  b + 3 a b ² + b ³

Ejemplo.

(x+5)³ =  x³ + 3x ²  (5) + 3x (25) + 125

= x³ +15x ² + 75x + 125

BINOMIO CONJUGADO

(a+b)(a-b) = a²  - b²

(a+b)(a-b) = a²  -ab + ab  - b²

(a+b)(a-b) = a²  -ab + ab  - b²

⁼ a²  - b²

^{Video ------->}     http://youtu.be/6190hbEWGIg 
http://www.youtube.com/watch?v=6190hbEWGIg&feature=youtu.be

Procesos cognitivos en el estudio de la ubicación espacial

La enseñanza de estrategias cognitivas parte de la consideración de que este tipo de estrategias representan no sólo diversos caminos para que las personas aprendan, sino también constituyen vías de acceso al conocimiento que pueden ser activadas de manera sistemática.

 Es evidente que algunos estudiantes avanzados son capaces de utilizar, por su cuenta, estrategias para aprender el material. La mayoría no lo hace y algunos lo hacen de modo parcial y con menos éxito que el que se puede esperar si la estrategia la planea el maestro. De ahí que sea necesario que éste plantee objetivos de enseñanza que vayan más allá de que el estudiante aprenda un contenido específico. Se trata de incluir el objetivo de "aprender a aprender", de aprender meta cognitivamente. Es decir que, en la medida en que los estudiantes aprendan el material, también aprendan cómo usar una imagen, una gráfica de recuperación o el parafraseo de una idea, al usar el maestro estas estrategias cognitivas como técnicas de diseño al elaborar la programación de un curso.

Si se cumple lo anterior, además de aprenderse en forma simultánea el contenido y las estrategias, el aprendizaje es recíproco, ya que el aprendizaje de estrategias mejora y estimula el aprendizaje de contenidos, y mediante el aprendizaje de contenidos el estudiante aprende a usar estrategias cognitivas y se motiva para continuar haciéndolo. En otras palabras, se da una relación recíproca o motivación mutua entre la enseñanza de estrategias cognitivas y la enseñanza de contenidos.

En general, el aprendizaje por imitación puede ser muy efectivo para el caso de las estrategias cognitivas. Los estudiantes no sólo pueden aprender contenidos mediante la imitación, sino que también pueden aprender a usar estrategias cognitivas si observan cómo la usa el maestro y otros estudiantes. Los requerimientos de una sociedad tan compleja y cambiante como la actual plantean el imperativo de centrar la educación en la necesidad de aprender a aprender. Ello significa ampliar en forma drástica el concepto de objetivos y de contenidos de la educación para incluir en ellos que los estudiantes sean capaces de conocer y usar apropiada-mente estrategias cognitivas; usar las estrategias cognitivas como medios de enseñanza; emplear las formas de motivación y de estímulo para que los estudiantes utilicen estrategias cognitivas durante el aprendizaje, e incluir en la evaluación del aprendizaje el conocimiento, el uso y las actitudes hacia las estrategias cognitivas.

El modelo didáctico que aquí se presenta permite diseñar la enseñanza con base en el uso de estrategias cognitivas. Se trata de un modelo que toma en cuenta la existencia de este tipo de estrategias en el momento de diseñar o planificar la enseñanza de una materia o asignatura específica. De tal modo, se realiza la fusión de los procesos del pensamiento durante la enseñanza y el aprendizaje y, por tanto, se propicia la formación de hábitos para pensar en términos de procesos, así como el desarrollo de habilidades intelectuales para un aprendizaje independiente. Las estrategias organizativas son las que más se emplean en el ambiente escolar. Dada su función de crear ambientes propicios para el aprendizaje, se propone en este modelo apoyarse en ellas como medio para la enseñanza y el desarrollo de actitudes. Las estrategias organizativas se componen de una variedad de actividades tanto grupales como individuales que están estrechamente vinculadas con distintas actitudes.

Perfeccionar la educación es una batalla constante a la que están llamados todos los educadores. Lograr que todos los niños y niñas reciban una adecuada educación en correspondencia con sus niveles de desarrollo y trabajar por alcanzar mejores resultados cada día; saber qué hacer para lograrlo, no solo desde el punto de vista teórico, sino en la práctica, debe ser una meta permanente de todos.

Dentro del proceso de enseñanza aprendizaje de la escuela, la Matemática escolar ha de realizarse de modo que los alumnos se apropien de los conocimientos esenciales y desarrollen las habilidades que les permitan aplicar de forma independiente sus conocimientos para resolver los problemas del entorno social, e incluye dos grandes bloques de contenidos: los aritméticos y los geométricos.

El proceso de enseñanza aprendizaje de los contenidos matemáticos en la escuela, a pesar del reconocido papel que juega en la preparación para la vida en nuestra sociedad socialista de alumnos adolescentes, en nuestro territorio, y con bastante similitud, tiene insuficiencias.

Los estudios específicos sobre este tema son escasos y las investigaciones rigurosas lo son más aún los conceptos tradicionales de discalculia y dificultades específicas de aprendizaje están siendo cuestionados. Generalmente la definición se realiza en términos negativos: presentan "dificultades de aprendizaje" aquellos alumnos que, a pesar de mostrar una inteligencia normal, y no tener problemas emocionales graves ni deficiencias sensoriales, tienen un rendimiento escolar pobre, definido operacionalmente por bajas puntuaciones en pruebas de rendimiento.

Aunque las investigaciones sobre los niños con dificultades mayores en el aprendizaje de las matemáticas que no hayan alcanzado un éxito claro en el intento de atribuir esas dificultades a un trastorno neurológico subyacente, sí han permitido establecer descriptivamente ciertos subgrupos diferentes a los que pueden pertenecer estos niños.

Las investigaciones posteriores, sobre todo desde la perspectiva cognitiva, han perfilado ciertas diferencias cognitivas, que han recibido recientemente una rigurosa confirmación experimental en un estudio sobre las competencias de memoria de los niños con dificultades de aprendizaje de las matemáticas.

La lógica de la perspectiva cognitiva es muy clara: si conocemos, por ejemplo, los procesos mentales que se emplean para efectuar una operación de suma, o las estructuras intelectuales que debe poseer el alumno para realizarla, podremos comprender mejor sus fallos y errores al sumar.
El enfoque cognitivo no etiqueta al sujeto, sino más bien categoriza los procesos que realiza y los errores que comete. No dice lo que el niño es o sufre sino que trata de comprender y explicar lo que hace: los procesos y estrategias que emplea cuando asimila conceptos matemáticos, efectúa operaciones de cálculo, resuelve problemas algebraicos, etc. El enfoque cognitivo es neutral con relación a la etiología última de las dificultades de aprendizaje de las matemáticas. Ayuda a precisar la naturaleza fina de las funciones mentales que no van bien en los sujetos con estas dificultades, favoreciendo así la búsqueda de las causas, pero no las establece por sí mismo.

El Modelo de Van Hiele

Una de las capacidades más humanas que posee el hombre y a través de la que se puede engrandecer constantemente la propia humanidad es la capacidad de pensar; capacidad que resulta imprescindible para el libre desarrollo de la personalidad y que permite la creación de ámbitos de participación activa. Una capacidad que admite la intervención consciente y responsable en la construcción del futuro individual y comunitario.

Esta capacidad de pensar, siendo tan importante,  atraviesa en la actualidad una aguda crisis de definición. Así, en la actualidad el hombre vive situaciones comunes de irreflexión, de superficialidad y de ignorancia real, y en consecuencia, está reduciendo la libertad personal al favorecer los ámbitos de la manipulación y al limitar la posibilidad de una libre y consciente toma de decisiones personales.

En esta situación de desequilibrio se debe recurrir a la educación y en consecuencia el docente tiene la responsabilidad de intervenir para propiciar el desarrollo de las capacidades de pensamiento en el estudiante. La efectividad de esta intervención se consigue, suministrando experiencias cotidianas que conduzcan a valorar la acción inteligente, creativa y racional, donde se aprecie la relación y utilidad de lo que se aprende, se  reflexione y se tenga la oportunidad de desarrollar la imaginación y la capacidad para resolver problemas.

Sin embargo, la práctica docente cotidiana luce lejana al ideal de intervención  positiva en post de potenciar la capacidad de razonamiento humano. Aunque esta discrepancia es general en todos los niveles y a nivel global, particularmente la educación venezolana enfrenta una gran dificultad en cuanto a la calidad de la educación que está siendo impartida. Esto, se ha evidenciado en el bajo nivel académico con que cuentan la gran mayoría de los bachilleres egresados de la educación secundaria. Este deficiencia se imputa no solo a la falta de motivación de los alumnos sino también a las estrategias inapropiadas utilizadas por el docente. En razón de estos planteamientos previos, este artículo tiene como propósito presentar algunas reflexiones sobre las alternativas didácticas para la enseñanza de contenidos geométricos mediante la integración de diferentes formas de representación y considerando las diferencias individuales de los educandos. La ausencia de una planificación adecuada de las clases tomando en cuenta los canales de representación y las diferencias individuales de los alumnos (auditivo, visual, kinestésico) influye en gran medida en el poco significado que  las clase proveen a los contenidos tratados; esto suele ocurrir porque los docentes desconocen o no quieren enterarse de la existencia de una gran diversidad de estrategias que pueden ser empleadas para ayudar al alumno a comprender cada una de las clases dictadas. Particularmente, una de las áreas mas afectadas por esta circunstancia es el campo de la matemática. Esta área ha sido objeto de estudio en cuanto a rendimiento académico, métodos de enseñanza, habilidades y destrezas en la resolución de problemas, entre otros; por ser uno de los componentes de la educación sistemática en donde es mas notable la crisis de rendimiento académico y por representar ésta una de las bases del aprendizaje y del desarrollo intelectual de los educandos. Mucho mas que los docentes de otras áreas, el docente de matemática es muy criticado porque utiliza muy pocas estrategias de aprendizaje. De hecho, la didáctica matemática es una de pedagogías las mas conservadoras de todas las áreas educativas; Por ejemplo,  En el área de geometría, a pesar de ser una asignatura con evidente matiz de concreción y con posibilidades de modelación en la vida real, los alumnos no cuentan con objetos que les permitan captar mejor los contenidos a través de los diferentes canales de representación. Este hecho hace que al momento de abordar la tarea educativa, en el contexto de la reforma, es indispensable la necesidad de considerar el bloque Geometría como una importante herramienta que proporciona al alumno un mejor conocimiento del espacio que lo rodea y de sus formas.  En geometría  se debe promover la discusión de ideas, formulación de conjeturas y  comprobación de hipótesis, las definiciones deben surgir de las propias experiencias de construcción, visualización, dibujo y medición de figuras y cuerpos geométricos.  La enseñanza de la geometría es un proceso que tiene tantos  componentes como posibilidades de representación y modelación por lo que es indispensable que se tomen las medidas necesarias para que al estudiante se le facilite el aprendizaje de la misma.Van Hile propuso un modelo de desarrollo del pensamiento geométrico de los niños utilizando la Programación Neurolingüística, el cual  puede influir en la enseñanza de la geometría a través de la implementación de diversas actividades que permitan el buen manejo de las capacidades intelectuales de cada uno de los niños. Este modelo luce apropiado para  aplicarlo en educación básica de forma individualizada y tomando en cuenta las necesidades de cada individuo en concordancia con  los niveles de madurez. En este sentido el modelo Van Hiele propone cinco niveles que el niño atraviesa para el pleno desarrollo de su pensamiento geométrico. Este, es auxiliado por experiencias instruccionales adecuadas, en él se afirma que el aprendiz se mueve secuencialmente desde el nivel inicial o básico (visualización), donde el espacio es simplemente observado (las propiedades de las figuras no son reconocidas explícitamente)  hasta el más alto nivel  (rigor), el cual se relaciona con los aspectos abstractos formales de la deducción, Crowley (2002).

 

Una síntesis descriptiva de los niveles de pensamiento geométrico

      Nivel 0 (nivel básico): visualización

     En esta primera etapa, los estudiantes están conscientes del espacio sólo como algo que existe alrededor de ellos. Los conceptos geométricos se ven como entidades totales como algo provisto de componentes o atributos. Las figuras geométricas son reconocidas por su forma como un todo, esto es, por su apariencia física y no por sus partes o propiedades. Una persona que funciona a este nivel puede aprender un vocabulario geométrico, identificar formas especificadas y, dada una figura, reproducirla; sin embargo, no reconocería que las figuras tienen ángulos rectos o que los lados opuestos son paralelos.

    Nivel 1: Análisis

En el nivel 1 comienza un análisis de los conceptos geométricos. Por ejemplo, a través de la observación y la experimentación los estudiantes empiezan a discernir las características de las figuras. Estas propiedades que surgen se usan para conceptualizar clases de formas. Es notorio que las figuras tienen partes y son reconocidas mediante ellas. Las relaciones entre propiedades aún no pueden ser explicadas por los estudiantes en este nivel, en el cual todavía no se ven las interrelaciones entre las figuras, ni se entienden las definiciones.

      Nivel 2: Deducción informal

Aquí, los estudiantes pueden establecer las interrelaciones en las figuras (por ejemplo: en un cuadrilátero, para que los lados opuestos sean paralelos, es necesario que los ángulos opuestos sean iguales) y entre figuras (un cuadrado es un rectángulo por que tiene todas sus propiedades). Se pueden deducir propiedades y reconocer clases. Se entiende la inclusión de clases. Las definiciones adquieren significado. Sin embargo, el estudiante en este nivel, no comprende el significado de la deducción como un todo ni el rol de los axiomas.

 

      Nivel 3: Deducción formal

En este nivel se entiende el significado de la deducción como una manera de establecer una teoría geométrica, los sistemas de axiomas, postulados, definiciones, teoremas y demostraciones son captados. Una persona en este nivel puede construir demostraciones, percibir la posibilidad del desarrollo de una prueba de varias maneras, entender la interacción de condiciones necesarias y suficientes y distingue entre una afirmación y su recíproca.

 

    Nivel 4: Rigor

En esta etapa el aprendiz puede trabajar en una variedad de sistemas axiomáticos. Pueden estudiarse geometrías no euclidianas y compararse diferentes sistemas. La geometría se capta en forma abstracta.

Van Hiele propuso fases secuenciales para aprender ayudar a estudiantes a moverse a partir de un nivel a otro:

Fase 1: Información: En esta etapa el profesor y los estudiantes inician  la conversación acerca los objetos del estudio para este nivel. Se hacen las observaciones, se plantean las preguntas, y se introduce el vocabulario.


 
Fase 2: Orientación Dirigida: Los estudiantes exploran a través de los materiales que el profesor ha ordenado cuidadosamente. Estas actividades deben revelar gradualmente a los estudiantes la característica de las estructuras a este nivel. 
Fase 3: Explicación: Los estudiantes expresan e intercambian sus opiniones acerca de las experiencias anteriores sobre las estructuras se han observado.  A excepción de asistir a los estudiantes al usar el vocabulario exacto y apropiado, el papel del profesor es mínimo. 
Fase 4: Orientación Libre: Los estudiantes encuentran actividades más complejas (con muchos pasos). Ganan experiencia en la resolución de problemas  y hacen explícitas muchas relaciones entre las estructuras de los objetos que son estudiados. 
Fase 5: Integración: Los estudiantes pueden internar y unificar relaciones en un nuevo cuerpo del pensamiento. El profesor puede asistir a la síntesis dando  un resumen  global de lo aprendido por los estudiantes.